La matematica è un campo vastissimo, ricco di formule e teoremi che portano il nome di grandi scienziati. Tra questi, Leonhard Euler spicca per la sua incredibile prolificità, con 886 pubblicazioni all'attivo. È quasi una certezza che ogni matematico abbia una "Formula di Eulero" o un "Teorema di Eulero" preferito.
La serie "La Matematica è piena di Eulero!" si propone di esplorare alcuni di questi argomenti, presentati da membri del comitato di redazione di MaddMaths!. Il terzo episodio si concentra sulla "Formula di Eulero", un argomento che richiede una precisazione iniziale, dato che la lista di disambiguazione di Wikipedia ne comprende ben sette.
L'Identità di Eulero: Una Formula Fondamentale
Spesso, con il termine "formula di Eulero" ci si riferisce a quella che più correttamente dovrebbe essere chiamata "identità di Eulero". Questa celebre relazione è espressa come:
\[e^{i\pi}=-1\]
Questa identità può essere vista come una diretta conseguenza di una formula più generale:
\[e^{ix}=\cos x+i\sin x\]
Per ottenere l'identità \((1)\) dalla formula \((2)\), è sufficiente porre \(x=\pi\) e ricordare i valori del coseno e del seno per questo angolo: \(\cos\pi=-1\) e \(\sin\pi=0\).
Le Funzioni Seno e Coseno come Soluzioni di un'Equazione Differenziale
Le funzioni \(e^{ix}\), \(\cos x\) e \(\sin x\) sono strettamente collegate e condividono proprietà matematiche significative. Sono entrambe funzioni intere che risolvono l'equazione differenziale del secondo ordine:
\[y”=-y\]
In particolare, la funzione coseno soddisfa le condizioni iniziali \(y(0)=1\) e \(y'(0)=0\), mentre la funzione seno soddisfa le condizioni \(y(0)=0\) e \(y'(0)=1\).
La relazione fondamentale tra seno e coseno può essere verificata calcolando la loro derivata. La derivata del coseno è \(-\sin x\) e la derivata del seno è \(\cos x\). Valutando queste funzioni in \(x=0\), si ottiene l'identità fondamentale che lega queste due funzioni.
Il Metodo di Eulero e la Stima di Pi Greco
La formula di Eulero e le sue derivazioni trovano applicazione anche in ambiti come il calcolo numerico. Utilizzando la formula di Taylor con il resto di Lagrange, è possibile stimare il valore di \(\pi\).
Poiché il valore della funzione seno non supera mai 1, sull'intervallo \([0, 4]\), il resto di ordine 11 è maggiorato da \(\frac{4^{11}}{11!}\), che è approssimativamente 0.11. Considerando lo sviluppo di Taylor di ordine 10, che contiene 5 addendi, si può stabilire che sull'intervallo \([0, 3]\) il seno è sempre positivo, mentre in 3.3 il suo valore è negativo. Nello specifico, il polinomio di Taylor di ordine 10 valutato in 3 è maggiore di 0.14, mentre in 3.3 è circa -0.15.
Dalla prima relazione fondamentale, si deduce che \(\gamma(t)=(\cos t,\,\sin t)\) al variare di \(t\in[0,\,\pi]\) rappresenta una parametrizzazione della semicirconferenza con centro nell'origine e raggio unitario, misurata in lunghezza d'arco. Questo perché la derivata \(\gamma'(t)=(-\sin t,\, \cos t)\) è un vettore di lunghezza unitaria. Di conseguenza, la lunghezza della semicirconferenza di raggio unitario è pari a \(\pi\).