L'ellisse è una figura geometrica affascinante con proprietà uniche. In questo articolo, esploreremo la sua definizione, i suoi elementi costitutivi e come viene visualizzata in contesti pratici come l'uso di un oscilloscopio.
Cos'è un'Ellisse?
Definizione di ellisse: L’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi chiamati fuochi.
Se consideriamo i fuochi chiamandoli F1 e F2 e un punto qualsiasi dell’ellisse P, si ha che PF1 + PF2 = costante. Esistono ellissi che hanno il proprio centro nell’origine del piano cartesiano, e altre dette ellissi traslate. Quelle traslate hanno il proprio centro in un punto arbitrario diverso dall’origine (0;0).
Elementi Fondamentali dell'Ellisse
Ogni ellisse ha due assi di simmetria che si incontrano nel suo centro. Uno verticale e uno orizzontale, di cui uno è il maggiore l’altro il minore. Se il maggiore è il verticale si estende lungo l’asse y, se è l’orizzontale si estende lungo l’asse x.
Incontrandosi i due assi si dividono in due segmenti uguali, detti semiassi.
Elementi fondamentali: fuochi, vertici, centro…
Oltre agli assi e ai fuochi per definire un’ellisse servono i vertici, il centro e la semidistanza focale. Esiste anche un parametro chiamato eccentricità dell’ellisse, che indica la sua deformazione (schiacciamento) rispetto a una circonferenza.
Centro dell’ellisse: il punto di intersezione degli assi.
Fuochi dell’ellisse: punti fissi da cui la somma delle distanze a qualsiasi punto dell'ellisse è costante.
Vertici: i punti di intersezione fra l’ellisse e i suoi assi. In tutto sono quattro come i semiassi.
Semidistanza focale: la semidistanza tra i due fuochi. Se consideriamo il segmento che li unisce coincide con il suo punto medio.
Eccentricità: la Misura della Deformazione
Eccentricità dell’ellisse: valore della deformità dell’ellisse rispetto a una circonferenza. Ossia indica quanto è schiacciata l’ellisse.
L’eccentricità dell’ellisse si indica con e. Il valore dell’eccentricità è compreso tra 0, da includere, e 1, da escludere.
Se e = 0, l’ellisse è una circonferenza perché l’eccentricità è nulla, perché nulla è la semidistanza tra i fuochi che coincidono nel centro della circonferenza stessa.
Che l’ellisse in esame abbia il centro nell’origine o sia traslata non è rilevante per l’eccentricità. Per calcolarla serve fare il rapporto fra la semidistanza focale c e la lunghezza del semiasse maggiore.
Se 2a è l’asse maggiore allora e = c/a. Invece quando l’asse maggiore è 2b si fa c/b.
Dato che indica la deformazione rispetto alla circonferenza, il valore di e è sempre compreso fra 0 e 1. Gli estremi di questo intervallo descrivono due situazioni opposte. Nel caso in cui e = 0 significa che ci si trova di fronte a una circonferenza. Infatti vorrebbe dire che i fuochi convergono nel centro, da cui tutti i punti della circonferenza sono equidistanti. La deformazione sarebbe quindi nulla.
Il caso opposto vedrebbe e = 1, ossia una deformazione totale. Non si avrebbe più quindi un’ellisse m una linea, un segmento. Questo segmento verrebbe a coincidere con l’asse maggiore e comprenderebbe anche i fuochi. Avere un segmento, a ben vedere, non contrasta ancora con la definizione di ellisse.
Equazioni dell'Ellisse
Equazione della Curva con Centro nell'Origine
Quando l’ellisse in esame ha come centro (0;0) allora la sua equazione è x2/a2 + y2/b2 = 1. I numeri a e b devono essere diversi da 0. Le coordinate x e y di ogni punto della curva soddisfano la relazione indicata.
I coefficienti a e b dell’equazione inoltre rappresentano i semiassi della curva. Per trovare gli assi occorre raddoppiarli, quindi questi saranno 2a e 2b. Per stabilire quale sia l’asse maggiore è sufficiente osservare se sia maggiore a2 oppure b2.
I vertici se il centro è nell’origine hanno sempre una coordinata pari a 0 perché si trovano sugli assi cartesiani. Quelli sull’asse x saranno V1,2 = (±a;0) e quelli sull’asse y invece V3,4 = (0;±b).
I fuochi dell’ellisse invece dipendono dall’asse maggiore. Se è 2a allora avranno come coordinate F1,2 = (±c;0) e c sarà √a2 - b2. Invece se l’asse maggiore è 2b i fuochi avranno come coordinate F1,2 = (0;±c) e c sarà √b2 - a2.
La semidistanza focale è pari a c. Come prima se 2a = asse maggiore allora c = √a2 - b2. Se 2b = asse maggiore allora c = √b2 - a2.
Equazione dell'Ellisse Traslata
Quando la curva ha un centro diverso dall’origine degli assi occorre adattare le formule di conseguenza. Si definisce C il centro, con coordinate (xc;yc). Dopodiché basta qualche piccola modifica.
L’equazione della curva diventerà (x - xc)2/a2 + (y - yc)2/b2. Le formule degli assi, dei semiassi e della semidistanza focale restano le stesse. Ma in conseguenza dell’equzione anche fuochi e vertici cambiano coordinate.
I quattro vertici dell’ellisse ora non si trovano più sugli assi ma vengono traslati. Per l’asse 2a ci saranno V1 = (xC + a; yc) e V2 = (xc - a;yc) . Per l’asse 2b invece i vertici saranno V3 = (xc;yc + b) e V4 = (xc;yc - b).
Anche i fuochi non saranno più su uno dei due assi. Si troveranno invece sulla retta a cui appartiene anche il punto C. Quindi: quando 2a è l’asse maggiore allora F1,2 = (xc±c;yc). Come prima c è dato da √a2 - b2 .se 2b è l’asse maggiore allora F1,2 = (xc;yc±c). Il valore di c deriva da √b2 - a2.
Visualizzazione delle Ellissi con l'Oscilloscopio
La visualizzazione delle curve di Lissajous, che possono assumere la forma di ellissi, è una tecnica comune in elettronica per analizzare la relazione di fase tra due segnali sinusoidali. Si procede inizialmente alla realizzazione del circuito, collegando il generatore di funzioni, tramite i cavi, all’impedenza RC serie.
All’uscita del generatore di funzioni (boccola MAIN) si collega l’adattatore BNC rosso/nero. La misura prevede l’utilizzo dell’oscilloscopio: tramite apposita sonda BNC si collega l’estremità nera alla massa del circuito e l’uncino (parte calda) all’altra estremità dell’impedenza.
Ultimati i collegamenti, si accendono gli strumenti e si attende affinché il circuito vada a regime. Si imposta sul generatore di funzioni una frequenza pari a 1 kHz e si analizzerà sull’oscilloscopio le sinusoidi relative all’impedenza complessiva e al solo condensatore.
Per poter visualizzare le curve di Lissajous nel caso in esame, si rende necessario visualizzare il relativo grafico parametrizzando tali segnali: l’oscilloscopio presenta esattamente la funzione necessaria, basterà premere il pulsante DISPLAY in modo da poter visualizzare tutti i tool grafici presenti e cambiare formato da YT (ampiezza in funzione del tempo) a XY. Il grafico ottenuto dipenderà fortemente, come visto precedentemente, dai legami che intercorrono tra i segnali prelevati.
Osserviamo che l’ellisse diventa una circonferenza se i segnali hanno la stessa ampiezza ( Ax = Ay )e sono sfasati di π/2 o 3π/2. L’ellisse diventa una retta quando lo sfasamento è ∆φ = 0 oppure π.
La traccia dell’ellisse sullo schermo non cambia orientamento variando la fase al valore positivo di ∆φ al valore negativo di −∆φ . Oltre all’indeterminazione del segno, il calcolo di |∆φ| fornisce sempre valori compresi tra 0° e 90°, anche quando in effetti lo sfasamento ha un modulo compreso tra 90° e 180°.
Dal tipo di figura visualizzata è possibile però determinare se sia necessario o meno aggiungere 90° al valore calcolato. Con queste condizioni si ottengono le principali figure.
Tastiere e oscilloscopio
Applicazioni e Curiosità
L'Omega X Swatch Moonswatch è una collezione di orologi in bioceramica che richiama il design iconico dell'Omega Speedmaster Moonwatch. La collezione si ispira alla luna, al sole e ai pianeti della nostra galassia. Mentre l'Omega Speedmaster viene venduto a diverse migliaia di dollari, l'Omega X Swatch Moonswatch è disponibile a un prezzo più accessibile.
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