L'equazione di Poisson è un'equazione differenziale alle derivate parziali che rappresenta il caso non omogeneo dell'equazione di Laplace. La sua forma generale è data da $\Delta u = f$, dove $\Delta$ è l'operatore laplaciano e $f$ è una funzione nota che può rappresentare masse o cariche distribuite in un dominio $\Omega$, le quali generano un campo di potenziale $u$.
Un concetto strettamente correlato all'equazione di Poisson è la formula di sommazione di Poisson, nota anche come risommazione di Poisson. Si tratta di un'identità che mette in relazione due somme infinite: la prima costruita con una funzione $f$ definita sull'asse reale o in uno spazio euclideo a $n$ dimensioni, e la seconda con la sua trasformata di Fourier. Questa formula e le sue generalizzazioni trovano applicazione in diverse aree della matematica, tra cui la teoria dei numeri, l'analisi armonica e la geometria riemanniana.
Nella sua forma unidimensionale, la formula di sommazione di Poisson può essere interpretata osservando la relazione tra lo spettro dell'operatore di Laplace-Beltrami sul cerchio e la lunghezza delle geodetiche periodiche su questa curva. È stato dimostrato che se vale una certa condizione, allora il membro destro della formula è la serie di Fourier del membro sinistro, e questa serie può divergere. Tuttavia, grazie al teorema della convergenza dominata, si può affermare che la somma esiste ed è finita per quasi tutti i valori di $x$, risultando integrabile sull'intervallo.
La formula di sommazione di Poisson lega i campioni di una generica forma d'onda nel dominio del tempo alle ripetizioni della sua trasformata nel dominio della frequenza. Scegliendo un intervallo di campionamento sufficientemente rapido, si evitano sovrapposizioni nel dominio della frequenza, rendendo possibile la ricostruzione del segnale campionato. Questo risultato è di fondamentale importanza per garantire la ricostruibilità di un segnale campionato.
In generale, la risommazione di Poisson è utile poiché una serie che converge lentamente nello spazio diretto può essere trasformata in una serie che converge molto più rapidamente nello spazio di Fourier. Ad esempio, una funzione gaussiana con una grande varianza nello spazio diretto si trasforma in una gaussiana con una piccola varianza nello spazio di Fourier.
Un'altra interpretazione della formula di sommazione di Poisson si ottiene considerando la relazione tra lo spettro dell'operatore di Laplace-Beltrami sul cerchio e la lunghezza delle geodetiche periodiche su questa curva. Si può dimostrare che questa relazione vale nel senso che se vale una certa condizione, allora il membro destro è la serie di Fourier del membro sinistro, e questa serie può divergere.
Dal teorema della convergenza dominata, segue che la somma esiste ed è finita per quasi tutti i valori di $x$, ed è integrabile sull'intervallo. In questo contesto, lo scambio tra la somma e l'integrale è permesso dal teorema della convergenza dominata. Sia inoltre $\epsilon$ un numero strettamente positivo. Il lato sinistro della formula sommatoria di Poisson è la somma di una serie di funzioni continue. Le ipotesi fatte sul comportamento di $f(x)$ all'infinito implicano che la serie converge normalmente su ogni compatto di $\mathbb{R}$.
Un modo pratico per aggirare le condizioni di regolarità imposte alla funzione è di collocare la formula nel contesto più ampio della teoria delle distribuzioni. Si consideri una distribuzione le cui derivate siano a decrescenza rapida. Un risultato di fondamentale importanza della formula di sommazione è fornire un criterio che garantisca la ricostruibilità di un segnale campionato.
In due variabili, la soluzione fondamentale dell'equazione di Poisson è data da $\Gamma(r) = \frac{\ln r}{2\pi}$, dove $r$ è la distanza dall'origine. Questa funzione corrisponde a una distribuzione di massa puntuale (tecnicamente, a una delta di Dirac).
Le funzioni armoniche, che sono soluzioni dell'equazione di Laplace ($\Delta u = 0$), giocano un ruolo importante nello studio dell'equazione di Poisson. Esse sono funzioni definite su un dominio $\Omega$ tali che la loro media su ogni sfera contenuta in $\Omega$ è uguale al valore della funzione nel centro della sfera.
Un aspetto cruciale è la dimostrazione che le soluzioni fondamentali del laplaciano, nel passaggio al continuo, risolvono l'equazione di Poisson. Ci si può inoltre interrogare sull'unicità delle soluzioni trovate per l'equazione di Poisson, una questione che verrà approfondita in seguito.
La formula di sommazione di Poisson è particolarmente utile in quanto permette di trasformare una serie che converge lentamente nello spazio diretto in una serie che converge molto più velocemente nello spazio di Fourier.
Equazioni di Laplace e Poisson
La formula di sommazione di Poisson, anche detta risommazione di Poisson, è un'identità tra due somme infinite, di cui la prima è costruita con una funzione e la seconda con la sua trasformata di Fourier. La funzione è definita sull'asse reale o nello spazio euclideo a $n$ dimensioni. La formula e le sue generalizzazioni sono importanti in molte aree della matematica, tra cui la teoria dei numeri, l'analisi armonica e la geometria riemanniana.
È stato osservato che, fissato $\theta$ ma arbitrario, $Y_{lm}(\theta, \phi)$ è una funzione armonica in $\mathbb{R}^3$. Allo stesso modo, anche le funzioni $f(x,y)$ saranno armoniche in $\mathbb{R}^2$ e similmente per una qualsiasi combinazione lineare di funzioni armoniche fondamentali. Ad esempio, $f(x,y) = x^2 - y^2$ è una funzione armonica.
Nel caso unidimensionale, si ha che, utilizzando la seconda formula di Green, compariranno dei termini di bordo che però si annulleranno perché si stanno considerando funzioni armoniche e funzioni a supporto compatto. Chiamiamo rispettivamente $f_1$ e $f_2$ i due addendi in cui è stato scomposto $f$. Per dimostrare che $f_1$ risolve l'equazione di Poisson, si procede in modo analogo a quanto fatto per provare che $f_2$ usata nel teorema di Liouville era armonica.
Si è messo in luce un comportamento piuttosto singolare e importante delle soluzioni fondamentali del laplaciano. Infatti, si è notato come, nel passaggio al continuo, esse risolvano l'equazione di Poisson.
La formula di sommazione di Poisson può essere utilizzata per dimostrare il principio di sovrapposizione in meccanica quantistica. In questo contesto, le soluzioni dell'equazione di Schrödinger, che descrive l'evoluzione temporale dei sistemi quantistici, sono funzioni d'onda che soddisfano il principio di sovrapposizione.
Un esempio di applicazione si ha nel calcolo del potenziale elettrostatico o gravitazionale generato da una distribuzione di massa o carica. In questo caso, l'equazione di Poisson assume la forma $\Delta u = -\rho$, dove $\rho$ è la densità di carica o massa.
La parentesi di Poisson è uno strumento matematico utilizzato nella meccanica classica per esprimere le leggi di evoluzione delle grandezze fisiche. Essa è legata all'equazione di Poisson attraverso la sua forma differenziale.
Infine, è importante sottolineare che l'equazione di Poisson è un'equazione differenziale alle derivate parziali che trova applicazione in numerosi campi della fisica e della matematica, dalla gravità all'elettrostatica, dall'analisi armonica alla teoria dei numeri.