La frequenza di taglio è un parametro fondamentale nella definizione delle proprietà dei filtri elettrici, sia passa basso che passa alto. Essa rappresenta una frequenza limite convenzionale, utile per la comodità e la convenienza di studio, che caratterizza il comportamento del filtro.
In molti contesti, specialmente per i filtri passivi (costituiti da resistenze, condensatori e induttanze), la frequenza di taglio è definita come la frequenza alla quale il modulo della funzione di trasferimento del sistema si riduce di 3 dB rispetto al valore massimo in banda passante. Questa riduzione di 3 dB corrisponde a una diminuzione dell'ampiezza del segnale di circa il 30%, lasciando quindi circa il 70% del segnale originale in banda passante. Per questo motivo, si parla anche di "banda a -3 dB".
Esistono diverse definizioni di frequenza di taglio, che possono dipendere dal contesto specifico o dalla convenzione adottata. In generale, è una frequenza che delimita la banda passante di un sistema, al di là della quale il segnale viene attenuato o eliminato.
Frequenza di Taglio nei Filtri Passa-Basso e Passa-Alto
Nei filtri passa-basso, la frequenza di taglio (spesso indicata come fc o fh per frequenza alta) è la frequenza al di sopra della quale le frequenze vengono attenuate. L'intervallo di frequenze al di sotto della frequenza di taglio è definito banda passante del sistema.
Al contrario, nei filtri passa-alto, la frequenza di taglio (spesso indicata come fi per frequenza inferiore) è la frequenza al di sotto della quale le frequenze vengono attenuate. L'intervallo di frequenze al di sopra della frequenza di taglio costituisce la banda passante.
La funzione di trasferimento di un sistema, che descrive come il sistema elabora i segnali in ingresso, presenta un modulo che varia con la frequenza. La frequenza di taglio è quel valore di frequenza per cui il modulo della funzione di trasferimento scende di 3 dB rispetto al suo valore massimo. In termini di ampiezza, questo significa che l'ampiezza del segnale in uscita è circa 0.707 volte l'ampiezza del segnale in ingresso.
Calcolo della Frequenza di Taglio per un Filtro RC Passa-Basso
Consideriamo un semplice filtro RC passa-basso, costituito da una resistenza (R) e un condensatore (C) in serie, con l'uscita prelevata ai capi del condensatore. La funzione di trasferimento T(s) per questo circuito è data da:
$$T(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = \frac{1}{1 + sRC}$$
Per trovare la frequenza di taglio, consideriamo la funzione di trasferimento nel dominio della frequenza sostituendo s con jω, dove ω è la pulsazione (ω = 2πf):
$$T(j\omega) = \frac{1}{1 + j\omega RC}$$
Il modulo della funzione di trasferimento è:
$$|T(j\omega)| = \frac{1}{|1 + j\omega RC|} = \frac{1}{\sqrt{1^2 + (\omega RC)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \omega^2 R^2 C^2}}$$
La frequenza di taglio (ωc) è definita come la pulsazione per cui il modulo della funzione di trasferimento è ridotto di 3 dB rispetto al valore massimo (che in questo caso è 1, poiché alle basse frequenze il condensatore si comporta come un circuito aperto). La riduzione di 3 dB corrisponde a un valore di modulo pari a $ \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$.
Quindi, poniamo:
$$|T(j\omega_c)| = \frac{1}{\sqrt{1 + \omega_c^2 R^2 C^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
Elevando al quadrato entrambi i membri:
$$\frac{1}{1 + \omega_c^2 R^2 C^2} = \frac{1}{2}$$
Da cui:
$$1 + \omega_c^2 R^2 C^2 = 2$$
$$\omega_c^2 R^2 C^2 = 1$$
$$\omega_c = \frac{1}{RC}$$
Convertendo la pulsazione in frequenza (fc = ωc / 2π):
$$f_c = \frac{1}{2\pi RC}$$
Questa formula mostra come la frequenza di taglio di un filtro RC passa-basso sia inversamente proporzionale al prodotto della resistenza (R) e della capacità (C). Ciò significa che aumentando il valore di R o C, la frequenza di taglio diminuisce, spostando la banda passante verso frequenze più basse.
Diagrammi di Bode e Frequenza di Taglio
I diagrammi di Bode sono strumenti grafici essenziali per visualizzare la risposta in frequenza di un sistema. Essi rappresentano il modulo e la fase della funzione di trasferimento in funzione della frequenza logaritmica. Nel diagramma di Bode del modulo, la frequenza di taglio è il punto in cui la curva del modulo scende di 3 dB rispetto al livello della banda passante.
Per i filtri passa-basso del tipo di Butterworth, la curva del modulo è piatta nella banda passante e poi inizia a diminuire con una pendenza di -20 dB per decade (o -6 dB per ottava) dopo la frequenza di taglio. La pendenza della curva diventa più ripida quanto più piccolo è il fattore di smorzamento ζ.
Nei filtri passa-alto, il comportamento è speculare: il modulo è basso alle basse frequenze e aumenta fino a raggiungere il valore della banda passante, con la frequenza di taglio che delimita l'inizio di questa banda.
come si calcola la frequenza di taglio in un filtro passa basso e passa alto
Altre Considerazioni sui Filtri
Esistono diverse tipologie di filtri, tra cui quelli che presentano risonanza, dove l'ampiezza massima di uscita coincide con quella della grandezza in ingresso. La funzione di trasferimento T(s) può presentare poli complessi coniugati, il cui comportamento dipende dal coefficiente di smorzamento ζ.
Per quanto riguarda i filtri RL passa-alto, la frequenza di taglio dipende dall'induttanza (L) e dalla resistenza (R), in modo analogo al caso RC. In generale, la frequenza di taglio di un circuito è determinata dai valori dei componenti passivi (R, L, C) che lo costituiscono.
È importante notare che la dimostrazione matematica della formula della frequenza di taglio si basa sull'analisi del modulo della funzione di trasferimento e sulla definizione convenzionale di attenuazione di 3 dB.
In sintesi, la frequenza di taglio è un parametro cruciale per comprendere e progettare circuiti filtranti, definendo i limiti della banda passante e influenzando l'attenuazione dei segnali al di fuori di essa.